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数学高一例题

高一数学平面向量训练

平面向量知识点，解题思路

8 章80 个知识点第一章免费阅读进入应用学习本库

章节目录

  1. 向量与平面几何基础10 个知识点免费
  2. 向量的加减法与数乘运算10 个知识点
  3. 平面向量的坐标表示10 个知识点
  4. 向量的线性表示与共线平行10 个知识点
  5. 平面向量的数量积10 个知识点
  6. 向量在平面几何中的应用10 个知识点
  7. 向量与中点、分点问题10 个知识点
  8. 向量综合训练与典型题型10 个知识点

Chapter 01 · 免费阅读

向量与平面几何基础

01向量的概念与表示基础

已知平面内三点 A,B,CA,B,C，且 AB=4AB=4，AC=6AC=6。设向量 AB→\uvec{AB}、AC→\uvec{AC}。判断下列说法是否正确，并说明理由：

  1. AB→\uvec{AB} 与 BA→\uvec{BA} 是相等向量；
  2. 若将 AB→\uvec{AB} 平移到点 CC，得到向量 CD→\uvec{CD}，则 CD→\uvec{CD} 与 AB→\uvec{AB} 相等；
  3. 向量 AB→\uvec{AB} 的模为 44。
查看解答
  1. 错。AB→\uvec{AB} 与 BA→\uvec{BA} 方向相反，模相等，但方向不同，因此不相等。
  2. 对。向量可以平移而不改变大小和方向。将 AB→\uvec{AB} 平移到点 CC 得到的 CD→\uvec{CD} 与 AB→\uvec{AB} 大小相等、方向相同，所以相等。
  3. 对。向量 AB→\uvec{AB} 的模就是线段 ABAB 的长度，已知 AB=4AB=4，所以 ∣AB→∣=4|\uvec{AB}|=4。

02向量相等与几何平移基础

在平行四边形 ABCDABCD 中，判断下列向量是否相等，并说明理由：

  1. AB→\uvec{AB} 与 DC→\uvec{DC}；
  2. AD→\uvec{AD} 与 BC→\uvec{BC}；
  3. AC→\uvec{AC} 与 BD→\uvec{BD}。
查看解答

在平行四边形中，对边平行且相等，并且方向一致时向量相等。

  1. AB→=DC→\uvec{AB}=\uvec{DC}。因为 AB∥DCAB\parallel DC 且 AB=DCAB=DC，方向也一致。
  2. AD→=BC→\uvec{AD}=\uvec{BC}。因为 AD∥BCAD\parallel BC 且 AD=BCAD=BC，方向也一致。
  3. AC→\uvec{AC} 与 BD→\uvec{BD} 一般不相等。它们不是平行四边形的对应边，方向通常不同，模也不一定相等。

03向量的模与方向基础

设向量 a→\uvec{a} 的模为 55，方向与正东方向成 60∘60^\circ；向量 b→\uvec{b} 的模为 55，方向与正东方向成 240∘240^\circ。判断 a→\uvec{a} 与 b→\uvec{b} 是否相等，并说明理由。

查看解答

不相等。虽然两向量模都为 55，但方向不同。
a→\uvec{a} 的方向为 60∘60^\circ，b→\uvec{b} 的方向为 240∘240^\circ，二者方向相反，因此不是相等向量。
相等向量必须模相等且方向相同。

04向量的加减与三角形法则进阶

在三角形 ABCABC 中，已知 AB→=u→\uvec{AB}=\uvec{u}，BC→=v→\uvec{BC}=\uvec{v}。用 u→\uvec{u}、v→\uvec{v} 表示 AC→\uvec{AC}、CA→\uvec{CA} 和 BA→\uvec{BA}。

查看解答

由三角形法则，
AC→=AB→+BC→=u→+v→.\uvec{AC}=\uvec{AB}+\uvec{BC}=\uvec{u}+\uvec{v}.
因为 CA→=−AC→\uvec{CA}=-\uvec{AC}，所以
CA→=−(u→+v→).\uvec{CA}=-(\uvec{u}+\uvec{v}).
又因为 BA→=−AB→\uvec{BA}=-\uvec{AB}，所以
BA→=−u→.\uvec{BA}=-\uvec{u}.

05向量坐标表示进阶

在平面直角坐标系中，已知 A(1,2)A(1,2)，B(4,−1)B(4,-1)，C(−2,3)C(-2,3)。求：

  1. AB→\uvec{AB}、AC→\uvec{AC} 的坐标；
  2. ∣AB→∣|\uvec{AB}|；
  3. 点 MM 为线段 ABAB 的中点，求 CM→\uvec{CM}。
查看解答

AB→=(4−1,−1−2)=(3,−3),\uvec{AB}=(4-1,-1-2)=(3,-3),
AC→=(−2−1,3−2)=(−3,1).\uvec{AC}=(-2-1,3-2)=(-3,1).
2.
∣AB→∣=32+(−3)2=18=32.|\uvec{AB}|=\sqrt{3^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.
3. 先求中点 MM 的坐标：
M(1+42,2+(−1)2)=(52,12).M\left(\frac{1+4}{2},\frac{2+(-1)}{2}\right)=\left(\frac52,\frac12\right).
于是
CM→=(52−(−2),12−3)=(92,−52).\uvec{CM}=\left(\frac52-(-2),\frac12-3\right)=\left(\frac92,-\frac52\right).

06向量的几何意义基础

在平面内，已知点 A,B,CA,B,C 不共线。若 AB→=AC→\uvec{AB}=\uvec{AC}，说明点 BB 与点 CC 的关系，并解释理由。

查看解答

点 BB 与点 CC 重合。
理由：AB→=AC→\uvec{AB}=\uvec{AC} 表示从同一点 AA 出发，到 BB 和到 CC 的位移向量相同，即终点位置相同，因此 BB 与 CC 是同一点。

07向量与平行四边形判定进阶

已知四边形 ABCDABCD 中，AB→=DC→\uvec{AB}=\uvec{DC}，AD→=BC→\uvec{AD}=\uvec{BC}。证明四边形 ABCDABCD 是平行四边形。

查看解答

由 AB→=DC→\uvec{AB}=\uvec{DC}，知 ABAB 与 DCDC 平行且相等；由 AD→=BC→\uvec{AD}=\uvec{BC}，知 ADAD 与 BCBC 平行且相等。
四边形两组对边分别平行，因此 ABCDABCD 是平行四边形。
也可由“一个四边形若一组对边既平行又相等，则该四边形为平行四边形”直接判断。

08向量线性表示与共线进阶

已知点 A,B,CA,B,C 共线，且 AB:BC=2:3AB:BC=2:3，BB 在线段 ACAC 上。设 AC→=a→\uvec{AC}=\uvec{a}，用 a→\uvec{a} 表示 AB→\uvec{AB} 和 BC→\uvec{BC}。

查看解答

因为 A,B,CA,B,C 共线且 BB 在线段 ACAC 上，所以 AB→\uvec{AB} 与 BC→\uvec{BC} 方向相同，且
∣AB∣:∣BC∣=2:3.|AB|:|BC|=2:3.
又 AB+BC=ACAB+BC=AC，因此总份数为 2+3=52+3=5。
所以
AB→=25AC→=25a→,\uvec{AB}=\frac25\uvec{AC}=\frac25\uvec{a},
BC→=35AC→=35a→.\uvec{BC}=\frac35\uvec{AC}=\frac35\uvec{a}.

09向量坐标与中点问题进阶

在平面直角坐标系中，已知 A(0,0)A(0,0)，B(6,2)B(6,2)，C(2,8)C(2,8)。点 MM 是 BCBC 的中点，点 NN 是 ACAC 的中点。求：

  1. AM→\uvec{AM}、AN→\uvec{AN}；
  2. 判断 AM→\uvec{AM} 与 AN→\uvec{AN} 是否相等，并说明理由。
查看解答

先求中点坐标：
M(6+22,2+82)=(4,5),M\left(\frac{6+2}{2},\frac{2+8}{2}\right)=(4,5),
N(2+02,8+02)=(1,4).N\left(\frac{2+0}{2},\frac{8+0}{2}\right)=(1,4).

  1. 因为 A(0,0)A(0,0)，所以
    AM→=(4,5),AN→=(1,4).\uvec{AM}=(4,5),\qquad \uvec{AN}=(1,4).
  2. 不相等。因为相等向量必须模相等且方向相同，而
    AM→=(4,5), AN→=(1,4),\uvec{AM}=(4,5),\ \uvec{AN}=(1,4),
    两者坐标不同，所以不相等。

10向量与图形综合挑战

在平行四边形 ABCDABCD 中，点 EE 是 ABAB 的中点，点 FF 是 CDCD 的中点。设 AB→=a→\uvec{AB}=\uvec{a}，AD→=b→\uvec{AD}=\uvec{b}。

  1. 用 a→\uvec{a}、b→\uvec{b} 表示 AE→\uvec{AE}、AF→\uvec{AF}；
  2. 求 EF→\uvec{EF}；
  3. 判断 EFEF 与 ABAB 是否平行。
查看解答
  1. 因为 EE 是 ABAB 的中点，所以
    AE→=12AB→=12a→.\uvec{AE}=\frac12\uvec{AB}=\frac12\uvec{a}.
    在平行四边形中，AC→=AB→+AD→=a→+b→\uvec{AC}=\uvec{AB}+\uvec{AD}=\uvec{a}+\uvec{b}，且 CC 到 DD 的方向与 AA 到 BB 相同，因此 CD∥ABCD\parallel AB 且 CD=ABCD=AB。
    FF 是 CDCD 的中点，所以从 AA 出发到 FF 可写为
    AF→=AD→+12DC→=b→+12a→.\uvec{AF}=\uvec{AD}+\frac12\uvec{DC}=\uvec{b}+\frac12\uvec{a}.

EF→=AF→−AE→=(b→+12a→)−12a→=b→.\uvec{EF}=\uvec{AF}-\uvec{AE}=\left(\uvec{b}+\frac12\uvec{a}\right)-\frac12\uvec{a}=\uvec{b}.
3. 因为 EF→=b→=AD→\uvec{EF}=\uvec{b}=\uvec{AD}，所以 EF∥ADEF\parallel AD，而在平行四边形中 AD∥BCAD\parallel BC。一般情况下 EFEF 不一定平行于 ABAB；只有当 b→\uvec{b} 与 a→\uvec{a} 平行时才会平行，但平行四边形中相邻边通常不平行，因此 EFEF 与 ABAB 不平行。